CẤP SỐ CỘNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn: Toán/ Lớp: 11

Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền

Email: ntthien.hc@hue.edu.vn

Điện thoại di động: 0905665171

Trường THPT Hóa Châu

Xã Quảng An - huyện Quảng Điền - tỉnh Thừa Thiên Huế

Tháng 11/2016

BÀI GIẢNG:

§3. CẤP SỐ CỘNG

Cuộc thi quốc gia Thiết kế bài giảng e-Learning lần thứ 4

QUỸ LAWRENCE S.TING

Nội dung bài học

I. Định nghĩa cấp số cộng

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

II. Số hạng tổng quát

Hoạt động 1: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11. Hãy viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó

__(1)__

__(2)__

__(3)__

__(4)__

__(5)__

21

31

27

23

19

15

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

§3. Cấp số cộng

I- Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

Hoạt động 1: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11. Hãy viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó

15

19

23

27

31

Hoạt động 2: Dựa vào định nghĩa và hình ảnh minh họa của cấp số cộng, hãy tính các số hạng còn lại theo u₁và d.

Số hạng thứ 1 là __(1)__

Số hạng thứ 2 là __(2)__

Số hạng thứ 3 là __(3)__

Số hạng thứ 4 là __(4)__

. . . . .

Số hạng thứ n là __(5)__

u₁ + 4d

u₁ + nd

u₁

u₁+ d

u₁ + 2d

u₁ + 3d

u₁+(n-1)d

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

§3. Cấp số cộng

Chứng minh:

Sử dụng phương pháp quy nạp

Khi n=2 thì u₂= u₁+d (đúng)

Giả sử công thức (2) đúng với n=k≥2,tức là u_k=u₁+(k-1)d

Ta chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức ta chứng minh:

Ta có:

(điều phải chứng minh)

Vậy

(định nghĩa cấp số cộng)

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = -5 và d = 3. Số hạng thứ 15 trong dãy cấp số cộng này là:

34

40

37

45

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Theo công thức (2) số hạng tổng quát

= -5 + 14. 3

= 37

Hoạt động 3: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng có mối liên hệ với số hạng đứng trước nó và số hạng đứng sau nó là:

Mỗi số hạng bằng trung bình cộng của số hạng đứng trước và số hạng đứng sau nó.

Mỗi số hạng bằng hiệu của số hạng đứng sau nó và số hạng đứng trước nó.

Mỗi số hạng bằng tổng số hạng đứng trước và số hạng đứng sau nó.

Mỗi số hạng bằng gấp hai lần tổng số hạng đứng trước và số hạng đứng sau nó.

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

§3. Cấp số cộng

Theo định nghĩa cấp số cộng:

III-Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

Chứng minh:

và

Cộng (1´) và (2´) ta có:

Giả sử (u_n) là cấp số cộng với công sai d

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

x=2,y=8

x=1,y=7

x=2,y=10

x=-6,y=-2

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Tương tự, theo công thức số (3) thì

Theo công thức số (3):

Suy ra y = 2. 6 - 2 = 10

= 2

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

Ví dụ 3: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện như hình dưới. Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

399

301

389

403

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Bài toán tính số que diêm của tầng đế ( tức tính u₁₀₀).

Tóm tắt: Với u₁= 3, d = 4. Tính u₁₀₀

Đáp số: u_n = u₁ + (n-1)d

u₁₀₀= 3 + (100 - 1).4 = 399 (que diêm)

Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Nếu tháp có 100 tầng thì Mai và Hùng cần tất cả bao nhiêu que diêm để xếp tháp 100 tầng đó?

Hoạt động 4: Trên tia Ox lấy các điểm A₁, A₂, A₃,. . ., A_n sao cho ứng với mỗi số nguyên n, OA_n=n. Trên tia Oy lấy các điểm B₁, B₂, B₃,. . ., B_n sao cho ứng với mỗi số nguyên n, OB_n=n. Kí hiệu u₁ là diện tích của tam giác vuông OA₂B₁ và với mỗi n≥2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi tam giác vuông OA_n+1B_n và tam giác vuông OA_nB_n_-1. Tìm công thức cho dãy số u_n. Từ đó suy ra tổng u₁ + u₂ + u₃+. . . +u_n.

Số hạng u₁ =__(1)__;

Số hạng u₂ =__(2)__;

Số hạng u₃ =__(3)__;

. . . .

Số hạng u_n =__(4)__;

Tổng u₁ +u₂ +u₃ +. . . + u_n =__(5)__

2

3

n

n(n+1)/2

n(n-1)/2

4

1

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

. . . . .

§3. Cấp số cộng

=

hay

Ví dụ 4: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Tổng số que diêm Mai và Hùng cần để xếp tháp 100 tầng đó là:

19950 que diêm

20300 que diêm

20100 que diêm

20200 que diêm

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Áp dụng công thức (4), ta có:

Câu hỏi 1: Nối các mệnh đề ở vế trái với các mệnh đề ở vế phải để tạo thành câu đúng

Nếu mỗi cấp số cộng với công sai d=0 thì

là một dãy số tăng

Nếu mỗi cấp số cộng với công sai d>0 thì

là một dãy số hằng

là một dãy số giảm

Nếu mỗi cấp số cộng với công sai d<0 thì

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Câu hỏi 2: Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

u_n=5-2n

u_n= $\frac{n}{2}$ -1

$u_{n} = 3^{n}$

u_n= $\frac{7-3n}{2}$

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Theo định nghĩa:

Suy ra:

Với u_n= 5- 2n, ta có

Muốn chứng minh một dãy (u_n) là cấp số cộng, ta chứng minh d = u_n+1- u_nlà hằng số.

(hằng số)

Vậy u_n =5 - 2n là dãy cấp số cộng

Câu hỏi 3: Lập bảng theo mẫu và điền số thích hợp vào ô trống:

__(1)__; __(2)__; __(3)__; __(4)__; __(5)__; __(6)__; __(7)__; __(8)__

530

36

-20

28

140

-43

10

3

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Câu hỏi 4: Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể:

Ở phương án 1: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.

Ở phương án 2: Người lao động sẽ nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500000 đồng mỗi quý (mỗi năm có 4 quý).

Nếu là người kí hợp đồng, em chọn phương án 2 khi làm bao nhiêu năm?

1 năm

2 năm

3 năm

4 năm

Điểm

1

Thời gian

00:00

Hiển thị thông báo kết quả

Xác nhận câu trả lời

Gửi bài

Tổng số lương (đơn vị: triệu đồng) mà người kĩ sư nhận được sau n năm làm việc như sau:

Vì thế :

- Nếu dự định làm việc cho công ty A không quá 3 năm thì nên kí hợp đồng theo phương án 1.

Theo phương án 1, ta có:

Theo phương án 2, ta có:

Suy ra:

Từ đó:

- Nếu dự định làm việc cho công ty A trên 3 năm thì nên kí hợp đồng theo phương án 2.

Câu hỏi 5: Trên tia Ox lấy các điểm A₁, A₂, A₃ ,. . . , A_n sao cho ứng với mỗi số nguyên n, OA_n=n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n=1,2,. . . Kí hiệu u₁ là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n≥2, kí hiệu u_nlà diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_n_-1, nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox. Tìm công thức cho dãy số u_n.